#げんぶー数学メモ

◎母平均の推定
　標本平均Xavg.はN(m, σ^2/n)に従うので、
　Z=(Xavg. - m)/(σ/√n)はN(0, 1)に従う。
　ここでP(|Z|≦1.96)=0.95より、
　　P(|(Xavg. - m)/(σ/√n)|≦1.96)
　　= P(|Xavg. - m|≦1.96(σ/√n))
　　= 0.95
　よって母平均mに対する信頼度95%の信頼区間は
　　[Xavg. - 1.96(σ/√n), Xavg. + 1.96(σ/√n)]

◎母比率の推定
　標本比率RはN(p, pq/n)に従うので、
　Z=(R-p)/√(pq/n)はN(0, 1)に従う。
　ここでP(|Z|≦1.96)=0.95より、
　　P(|(R-p)/√(pq/n)|≦1.96)
　　= P(|R-p|≦1.96√(pq/n))
　　= 0.95
　よって
　　[R-1.96√(pq/n), R+1.96√(pq/n)]
　ここでq=1-pを代入すると
　　[R-1.96√(p(1-p)/n), R+1.96√(p(1-p)/n)]
　また大数の法則より、
　nが大きいときRはpに近似できるので
　　[R-1.96√(R(1-R)/n), R+1.96√(R(1-R)/n)]
　よって母比率pに対する信頼度95%の信頼区間は
　　[R-1.96√(R(1-R)/n), R+1.96√(R(1-R)/n)]

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◎標本平均の分布
　母平均m, 母標準偏差σの母集団から
　大きさnの無作為標本を復元抽出するとき、
　その標本平均Xavg.の期待値, 分散, 標準偏差は
　　E(Xavg.) = m
　　V(Xavg.) = σ^2/n
　　σ(Xavg.) = σ/√n

　よって標本平均Xavg.は、
　N(E(Xavg.), σ(Xavg.)^2) = N(m, σ^2/n)に従う

◎標本比率の分布
　T=X1+X2+…+Xn (Xk=0, 1)とすると
　　TはB(n, p)に従う ⇒ N(np, npq)に従う
　これをZ=(X-m)/σを用いて標準化すると
　　ZT=(T-np)/√(npq)
　R=T/nより、ZTの分子分母をnで割ると
　　ZR=(T/n - p)/√(pq/n)=(R-p)/√(pq/n)
　　∴ R=T/nはN(p, pq/n)に従う

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◎2項間の相加相乗平均
　a > 0, b > 0 のとき
　　(a+b)/2 ≧ √(ab)
　また、その等号成立条件は
　　a = b

◎n項間の相加相乗平均
　a1 > 0, a2 > 0, …, an > 0 のとき
　　(a1+a2+…+an)/n
　　　≧ (a1*a2*…*an)^(1/n)
　また、その等号成立条件は
　　a1 = a2 = … = an

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